Matemáticas de Magallanes

INTRODUCCIÓN

Existe un documento archivado denominado Memorial atribuido a Fernando de Magallanes en el que se justifica la pertenencia de las Molucas a España AGI,PATRONATO,34,R.13. -original aquí- en el que se declaran diferentes conocimientos geográficos de la época que nos van a permitir inferir el tamaño asignado al mundo por su autor, así como la ubicación tanto del meridiano de demarcación según el Tratado de Tordesillas, como de su antimeridiano en las antípodas.

El asunto es de sumo interés en cuanto a que nos va a permitir demostrar matemáticamente que Magallanes ya sabía que se iba a enfrentar a un vasto océano cuando empezó a navegar el océano Pacífico, en contra de la opinión establecida de forma generalizada. Dado que en las fuentes primarias no existe ninguna mención a ello, posiblemente la raíz de esta opinión, por la que se dice que Magallanes esperaba haber encontrado Asia poco después de dejar América a su espalda, sea la crónica de Francisco López de Gómara, Historia General de las Indias:

Afirmaban asimismo [Magallanes y Rui Faleiro] que las Malucas estaban no muy lejos de Panamá y golfo de San Miguel, que descubriera Vasco Núñez de Balboa. Francisco López de Gómara.

La atribución de este Memorial sin firmar nos haría llegar a la conclusión de que su autor no pudo ser otro que el propio Fernando de Magallanes, o bien su compañero el bachiller Rui Faleiro, porque ¿quién si no pudo escribirlo? Si consideramos otras opciones plausibles, veremos que en todos los casos algo nos falla. Quizá la principal sea que se cita al cabo de San María, en el actual Uruguay, como referencia geográfica relevante. Dejó de serlo tras el viaje de Magallanes, pero hasta entonces era el último cabo conocido en la costa de Sudamérica. Dejando aparte esta consideración, si tomamos como candidato a Hernando de Colón, sus escritos, muy prolijos, acerca del problema del tamaño de la esfera terrestre, y de las problemáticas para hallar empíricamente su tamaño y la ubicación de los meridianos de demarcación, van en otro sentido. Tampoco parece lógico que fuera escrito por el propio Elcano antes de partir con la armada de Loaysa, puesto que no se dirige al Rey en los términos en que lo hace en otras ocasiones, lo que por cierto se convierte en un argumento que reforzaría la hipótesis de que Magallanes fuera su autor.

Memorial.png

Memorial atribuido a Fernando de Magallanes en el que se justifica la pertenencia de las Molucas a España. AGI,PATRONATO,34,R.13.

 

ANÁLISIS DEL MEMORIAL

Muy poderoso señor

Porque podría ser que el Rey de Portugal quisiese en algún tiempo decir que las islas de Maluco están en su demarcación, y podría mandar cambiar las derrotas de las costas y acortar los golfos de la mar sin que nadie se lo entendiese así como yo lo entiendo, y sé cómo se podría hacer, quise por servicio de V.A. dejar declarado las alturas de las tierras y cabos principales y las alturas en que están, así de latitud como de longitud, y con esto será V.A. avisado para que, sucediendo lo dicho, yo fuese fallecido, tenga sabido la verdad.

+ ítem la isla de San Antón, que es una de las del Cabo Verde en la costa de Guinea, donde se hizo la repartición de estos reinos con los de Portugal, está la dicha isla a veinte y dos grados al oriente de la línea de la repartición.

+ ítem está la dicha isla, conviene a saber, la punta del occidente a diez y siete grados de latitud.

 

Puesto que el Tratado de Tordesillas establecía la línea de demarcación a 370 leguas al Oeste de Cabo Verde, esta información respecto a que a esas 370 leguas le corresponden 22 grados nos va a servir para hallar la longitud de circunferencia del ecuador, o lo que es lo mismo, el tamaño de la Tierra.

Por un lado, debemos hallar la longitud de la circunferencia en el paralelo de Cabo Verde. Es muy sencillo, dado que, si 22 grados miden 370 leguas, los 360 grados de la circunferencia completa medirán:

Longitud circunferencia del paralelo de Cabo Verde = 360° . 370 leguas / 22° = 6.054,55 leguas

Hallado este dato, y sabiendo que Cabo Verde se encuentra a una latitud de 17°N, podemos obtener el radio terrestre aplicando la siguiente fórmula:

 

Longitud de un paralelo terrestre en latitud α L(paralelo) = 2πR cosα 

Si despejamos el radio en esta expresión tenemos que:

Radio terrestre (R) =  L(paralelo) / (2π cosα )= 6.054,54 / (2π cos17) = 1.007,64 leguas

 

Una vez hemos conseguido determinar el radio terrestre, obtener la longitud de la circunferencia del ecuador es ya inmediato mediante la fórmula:

 

L ecuador = 2πR = 2π . 1.007,64 leguas = 6.331,22 leguas

Si dividimos estas 6.331,22 leguas del ecuador entre los 360 grados de la esfera, inferimos también que Magallanes atribuía a cada grado terrestre 17,58 leguas, que será un dato que vamos a utilizar. Este dato podemos además contrastarlo con el obtenido si analizamos el Derrotero de Francisco Albo: si nos fijamos en los días en que se nos dan las leguas recorridas y la variación de latitud, eligiendo días con un importante componente al Norte en el rumbo para minimizar errores, veremos que: 

Derrotero_Leguas_Tabla.png

Si descartamos los valores extremos (en rojo) y obtenemos el promedio del resto, hallamos que la media de leguas por grado del Derrotero era de 17,32, un valor muy cercano a los 17,58 que hemos deducido del Memorial y que viene a confirmar este dato.

Si aplicamos una relación de 5,5 km por legua (después hablaremos de ello) obtenemos que la longitud de la circunferencia del ecuador, o de cualquier meridiano, queda en 34.821,71 km, es decir, un 13% menor de los 40.000 km reales que hoy sabemos que tiene –muy aproximadamente-.

Por último, podremos ubicar el antimeridiano de demarcación a 180º del ya hallado a 370 leguas de Cabo Verde, que con los datos obtenidos se encontraría a:

180º x 17,58 leguas por grado x 5,5 km por legua = 17.404 km

En el mapa que hemos creado como apoyo, lo mostraremos reflejado midiendo esta distancia hacia el lado Oeste o castellano del meridiano de demarcación.

+ ítem el cabo de san Agustín, que es en la tierra del Brasil en la demarcación de Portugal, a ocho grados de latitud y a veinte de longitud de la línea de la repartición [en realidad, diez. Dato irrelevante en lo que aquí tratamos].

+ ítem el cabo de Santa María que es la misma tierra del Brasil de Portugal está en treinta y cinco grados de latitud y a seis grados y cuarto de longitud de la dicha isla [en realidad, once. Dato irrelevante en lo que aquí tratamos].

+ ítem el cabo de Buena Esperanza con el cabo de Santa María se corre al este oeste y está el cabo de Buena Esperanza en treinta y cinco grados de latitud y setenta y cinco grados de longitud al oriente de la línea.

Con este dato, Magallanes empieza a ayudarnos a ubicar el antimeridiano de demarcación de Tordesillas por la mitad oriental del mundo. Lo hará referenciando tres tramos, de los que éste es el primero. Al darnos la longitud geográfica del cabo de Buena Esperanza referenciada desde el meridiano de demarcación, podemos hallar que en kilómetros esta distancia es la siguiente:

75° x 17,58 leguas por grado x 5,5 km por legua = 7.252 km

Esta será por tanto la distancia a medir sobre el ecuador hacia el Este del meridiano de demarcación, para obtener la primera coordenada del cabo. Al añadir su latitud, ubicaremos en el mapa un punto que corresponderá virtualmente al cabo de Buena Esperanza.

El error obtenido respecto a la posición real del cabo podremos comprobar que es muy bajo, de sólo 200 km, lo cual nos confirma que la transformación de leguas a kilómetros que estamos manejando es la misma o muy cercana a la correcta.

Memorial2.jpg
Cabo_.jpg

El error acumulado hallado en la ubicación del cabo de Buena Esperanza es menor a 200 km respecto a la real.

+ ítem, el dicho cabo de Buena Esperanza está en derrota con Malaca al esnordeste oessudoeste y hay mil y seiscientas leguas de camino del dicho cabo de Buena Esperanza al puerto de Malaca.

Desde el punto antes hallado con la posición virtual del cabo de Buena Esperanza, en la que Magallanes lo ubicaba, ahora nos dice que hasta Malaca hay 1.600 leguas, que multiplicadas por 5,5 km por legua dan un valor de 8.800 km.

No sabemos si las refiere medidas sobre el ecuador desde la longitud del cabo hasta la longitud de Malaca, o bien se trata de distancia medida directamente de un punto a otro. Vamos a considerar esta última opción por encontrarse del lado de la seguridad (el valor que nos dará implicará una tierra de menor tamaño que si tomamos la primera opción).

Esto nos lleva a crear un punto virtual en el mapa con la ubicación en la que Magallanes decía encontrarse la ciudad de Malaca. En este caso su estimación en leguas le hace quedarse corto en 625 km. Malaca está algo más lejos del cabo de Buena Esperanza de lo que dijo.

Hemos tenido la curiosidad de hallar la distancia ortodrómica real entre las posiciones descritas en el Memorial entre el cabo de Buena Esperanza y Malaca, en leguas, y hemos podido comprobar que la distancia teórica entre ambos puntos sobre una esfera del radio ya mencionado de 1.007,64 leguas es de 1.556,88 leguas, es decir, que Magallanes tuvo un error de solamente un 2,7% en su cálculo: algo verdaderamente impresionante.

Malaca__.jpg

El error acumulado hallado en la ubicación de Malaca es de 625 km, en este caso de menos, respecto a su posición real.

Modelo en 3D creado en AutoCAD del mundo descrito en el Memorial, tomando como unidad de medida la legua, y de radio 1.007,64 leguas. Sobre el modelo podemos medir la distancia ortodrómica existente entre el cabo de Buena Esperanza y Malaca después de posicionar ambos puntos por sus coordenadas en grados. La distancia ortodrómica hallada es de 1.556,88 leguas, solo un 2,7% menor de lo que se indica en el Memorial.

 

+ ítem el dicho puerto de Malaca está al norte del conuncial un grado y hay de ella a la otra línea de demarcación que está al oriente diez y siete grados y medio.

Por fin, con esta tercera indicación llegamos a cubrir la distancia pendiente de obtener hasta el antimeridiano de demarcación, que nos dice estar a 17,5 grados al Este de Malaca. Así, tenemos que esto equivale a:

17,5 grados x 17,58 leguas por grado x 5,5 km = 1.692 km

Que deberemos medir sobre el ecuador para ubicar el antimeridiano.

Antimeridiano_.jpg

Si avanzamos  17,5 grados o 1.692 km hacia el Oeste desde la posición virtual de Malaca, medidos sobre el ecuador, conseguimos alcanzar el antimeridiano por el lado portugués según la descripción del Memorial.

 

+ ítem las islas de Maluco son cinco, conviene a saber, las tres que están más allegadas a la segunda línea de la demarcación que están todas norte y sur a dos grados y medio de longitud y la isla de en medio está debajo de conuncial.

 

+ ítem las otras dos islas están de la manera de las dos primeras. que es norte sur y a cuatro grados al oriente de la segunda línea, conviene a saber, dos al norte del equinoccial y dos al sur del equinoccial, asentadas por los pilotos portugueses que las descubrieron.

Por último, la distancia a la que Magallanes ubicaba las Molucas desde el antimeridiano es de 4 grados al Este, y por ello dentro del hemisferio castellano.

Estos cuatro grados, transformados a kilómetros, corresponden a 387 km.

+ y esta membranza que a V.A. doy mande muy bien guardar, que ya podrá venir tiempo que sea necesaria y excusará diferencias, y esto digo con sana conciencia, no teniendo respeto de otra cosa sino a decir la verdad.

Con todo lo expuesto, hemos obtenido teóricamente la ubicación para Magallanes del antimeridiano de demarcación, tanto por el hemisferio portugués como por el castellano, obteniendo que entre ellos existe un tramo de la Tierra de ancho 5.253 km, con el que Magallanes no contaba.

Este valor confirma además la validez de todos los cálculos expuestos, puesto que coincide exactamente con los 5.178 km de diferencia existentes hasta los 40.000 km considerados de circunferencia en el ecuador, sumando además los 75 km extra que hoy sabemos que tienen el ecuador por efecto del achatamiento en los polos, y los 34.822 km hallados en el primer punto de esta exposición.

Podría interpretarse que el punto débil de este estudio sea la correlación que hemos dado por válida de 5,5 km por legua. No hay una forma estricta de establecerla, pero podemos calibrar su validez: antes hallamos que, con esta correlación, el error en la posición del cabo de Buena Esperanza medido desde el meridiano de demarcación era sólo de 200 km (un 2% positivo, puesto que Magallanes lo ubicaba 200 km más lejos), mientras que el error entre el cabo y Malaca era de 600 km, negativos por quedarse corto (un -6%).

Si hiciéramos el cálculo de los km por legua reales entre el cabo y Malaca tendríamos un valor mayor, de 5,84 km por legua, con lo que el error en la dimensión de la Tierra sería aún menor. En cambio, si partimos del error en la ubicación del cabo de Buena Esperanza, esta relación quedaría en 5,49 km por legua. Se trata en cualquier caso de comprobaciones que nos sirven para confirmar que el valor de 5,5 km por legua resulta válido.

Como apoyo, acceder al mapa creado en Google Maps.

Memorial.jpg

La posición del antimeridiano del Tratado de Tordesillas resulta quedar ubicada en dos lugares diferentes en función de si la hallamos desde el meridiano de demarcación hacia el lado castellano o portugués, quedando comprendida entre ambas una franja de la Tierra equivalente al error en la dimensión del mundo, de 5.253 km medidos sobre el ecuador, o de un 13% respecto a su circunferencia completa.

SOBRE LAS DISTANCIAS EN LEGUAS

Al tratar de averiguar cuál era el tamaño del mundo considerado en el Memorial tenemos dos factores que lo determinan: el error en el cálculo del tamaño de la esfera contenido en su dimensionamiento en leguas, y por otro lado, la transformación de leguas a kilómetros.

Si uno repite todas las operaciones realizadas aquí atribuyendo a cada legua el valor de 6,318 km, el meridiano de demarcación quedará ubicado algo más al Oeste, y el antimeridiano coincidirá exactamente a 20.000 km, justo al otro lado del ecuador, y por tanto a 180 grados de longitud en el extremo opuesto de la esfera. No habría error en el tamaño de la esfera, más que el pequeño propio por su achatamiento. Sin embargo, las posiciones descritas en el Memorial para el cabo de Buena Esperanza y Malaca carecerían de sentido, porque tendrían errores muy abultados.

Ello es debido a que las distancias en ese globo imaginario más pequeño que se maneja en el Memorial son las mismas que en el globo de tamaño real, es decir, la distancia de un punto a otro es la que es y no otra. Por eso, si uno maneja como concepto que la esfera terrestre es menor, la distancia entre dos puntos cubre más grados de longitud de los que debería.

Si utilizamos el factor de 5,5 km por legua, hemos visto que la posición del cabo de Buena Esperanza y de Malaca se aproxima mucho a la real midiendo sobre una esfera también de tamaño real, como la que se nos ofrece en Google Maps. Además, puesto que con este valor cuadrarían las dos posiciones teóricas del antimeridiano entre las que quedaría comprendida la distancia propia del error en la dimensión del mundo, podemos decir con mayor convencimiento que éste es el valor correcto.

Si utilizáramos un valor de km por legua comprendido entre los 5,5 y los 6,318 máximos (si nos pasamos de este valor hablaríamos de una Tierra mayor de lo que es) las posiciones del cabo de Buena Esperanza y de Malaca empezarían a desplazarse demasiado de lo que les corresponde, y estaríamos asumiendo que el error en el dimensionamiento previo de la esfera fue menor. Por ello, las distancias medidas en grados deberían reducirse respecto a las indicadas en el Memorial.

Por todo ello, solo con leguas de 5,5 km cuadra ese mundo descrito en el Memorial.

CONCLUSIONES

Gracias a este Memorial, el antimeridiano del Tratado de Tordesillas puede ser hallado a partir del meridiano de demarcación tanto por el lado Este como por el Oeste, arrojando dos posiciones teóricas, entre las que quedará comprendido el tramo de la Tierra de ancho de 5.253 km que Magallanes no esperaba encontrar.

Memorial__magallanes.jpg

 

El antimeridiano hallado por el hemisferio portugués quedaría ubicado cortando la isla de Borneo mientras que, si es hallado por el hemisferio castellano, pasaría entre Australia y Nueva Zelanda.

Según hemos hallado, para el autor de este Memorial la esfera de la Tierra tenía una longitud de circunferencia en el ecuador, o en cualquier meridiano, de 34.822 km.

El error que esto supone respecto a los 40.075 km reales es de 5.253 km. En porcentaje, el tamaño de la Tierra obtenido es un 13% menor del real.

Por todo ello, queda demostrado también por qué Magallanes tardó más de 10.000 km en alcanzar la latitud de las Molucas cuando navegó por el Pacífico, aunque éste terminó siendo aún mayor de lo que ya esperaba.

Así, cobra todo el sentido la cita que el cronista Antonio de Herrera ponía en boca del piloto Esteban Gómez, quien al ser consultado por Magallanes acerca de qué decisión tomar cuando empezaban a adentrarse en el Estrecho, afirmó que, con vituallas para tres meses, podrían no ser suficientes para llegar a las Molucas porque había gran golfo que pasar, y si les tomasen algunos días de calmas o tormentas perecerían todos.

Otra conclusión que podríamos sacar de todo esto es que, al considerar una Tierra de menor tamaño, cuando estos navegantes pioneros viajaron a las Molucas por el hemisferio portugués hallaron que se encontraban más allá del antimeridiano y por tanto en el hemisferio castellano conforme afirmaba Magallanes, mientras que al navegar en sentido opuesto, como lo hicieron en esta expedición, les ocurrió lo mismo, es decir, que también creyeron que habían sobrepasado el antimeridiano antes de llegar a las Molucas. Esa franja de la Tierra "sobrante" de más de 5.000 km en la que quedaban las Molucas era tierra de nadie bajo una concepción de la Tierra menor de su tamaño real.

Ello nos abre otra serie de preguntas: ¿se dio cuenta Elcano de que la Tierra era mayor, y por eso terminó afirmando a Carlos V que las Molucas quedaban en el hemisferio castellano?, ¿eligió el camino de vuelta por el hemisferio portugués consciente de que la longitud geográfica de las Molucas le acercaba a España navegando por ese lado del mundo?, ¿su viraje anticipado al Noroeste creyendo haber sobrepasado el cabo de Buena Esperanza nos da un indicio de que fue entonces cuando realmente pudo darse cuenta de que la Tierra era mayor de lo que hasta entonces habían creído? Sin duda, este es un tema apasionante, pero creo que por el momento hemos llegado ya bastante lejos con nuestras deducciones, y estas cuestiones no podremos resolverlas sin entrar demasiado en el terreno especulativo.

Bajo una concepción de la Tierra de menor tamaño, las Molucas quedaban más allá del antimeridiano de demarcación del Tratado de Tordesillas tanto si se viajaba hasta ellas desde el hemisferio portugués como desde el castellano.

UNA ÚLTIMA HIPÓTESIS

Tras comentar estos resultados con dos personas expertas y amigas, Braulio Vázquez Campos, del Archivo General de Indias, y Luis Robles Macías, autor del blog Historia y Mapas, ambos me aportaron ideas nuevas para seguir investigando y profundizando sobre la cuestión.

 

Entre otras cosas, Braulio me habló sobre la asignación de 5,5 km a cada legua: ¿por qué Gonzalo Gómez de Espinosa decía en su carta al Rey que el Darién, Panamá, le quedaba a solo 1.800 leguas del Maluco, o a 2.000 leguas según la carta de los pilotos Juan Bautista y de León Pancaldo? Solo sería una afirmación válida con una asignación de km por legua mayor, pero eso haría que no cuadraran algunos datos del Memorial, y podría llevarnos a la conclusión de que la Tierra fuera considerada aún mayor, algo más que dudoso. 

Desta isla, señor, me partí a seis días del mes de abril año de 1522, y hicimos nuestro camino para ir a demandar la tierra firme donde hizo Andrés Niño las carabelas, que es en la Mar del Sur; donde, señor, hallaba que de Maluco a la primera tierra no había sino mil y ochocientas leguas. (Gonzalo Gómez de Espinosa, AGI,INDIFERENTE,1528,N.2)

Nos partimos de la dicha isla de Tidori a los seis días del mes de abril año de 1522, y hezimos nuesso camino para yr a demandar la tierra firme de la parte del sur, donde señor, sabrá su señoría que de la dicha tierra firme a Maluco non hai a más lexos camino senom dos mill leguas. (Juan Bautista de Punzorol y León Pancaldo, As Gavetas da Torre do Tombo, XV, 10-34)

Por su parte, Luis me habló del mapamundi conocido como Kunstmann IV, el facsímil que se conserva del mapa perdido que se cree obra de Jorge y Pedro Reinel, del año 1519, y que algunos expertos afirman que es el que Magallanes encargó antes de su partida, según se indica incluso en la ficha de este mapa del Instituto Geográfico Nacional de España, y que por ello podría quizás plasmar todo aquello recogido en el Memorial que acabamos de analizar.

Inicialmente no vinculé entre sí ambas informaciones, pero después de pensar sobre ello, caí en la cuenta de que quizás nuestros expedicionarios conocían este mapa, o portaban otro similar de entre los que Nuño García de Toreno les preparó en la Casa de Contratación antes de su partida, y se basaron en él para calcular la distancia entre el Maluco y el Darién. Después de estudiarlo y hacer las debidas comprobaciones geométricas, eso es justamente lo que ahora creo.

Sobre el dibujo la línea entre el cabo de Buena Esperanza y Malaca debe ser curva por tratarse de la distancia ortodrómica. Sin embargo, la diferencia de longitud entre ésta y la línea recta hemos calculado que es de solo un 1%, lo que nos lleva a considerarlo un error despreciable.

Según parece además bastante claro, la distancia de 2.000 leguas entre el Maluco y el Darién citada por Juan Bautista y León Pancaldo correspondería a la existente hasta el propio ismo de Panamá. Además, Espinosa fue muy exacto, porque siempre me había preguntado a qué se refería cuando decía eso de "a la primera tierra". Ahora tengo una respuesta: a la primera tierra reflejada en este mapa.

KunstmannIV_Trinidad_.png

Mapamundi Kustmann IV atribuido a Jorge y Pedro Reinel, del año 1519, y que podría tratarse de un mapa encargado por Magallanes antes de partir hacia la Especiería. Si hacemos las comprobaciones pertinentes, comprobamos que la distancia entre el Maluco y el Darién corresponde a las 1.800 leguas que el capitán Gonzalo Gómez de Espinosa estimó que debía recorrer desde las Molucas hasta alcanzar el Darién.

P.D. Un último apunte que me resulta fascinante: volviendo a leer la crónica de López de Castanheda (año 1554) he encontrado esta cita, que no había tenido por importante hasta ahora. Al referir la captura de la nao Trinidad por el portugués Antonio de Brito, Castanheda dice así:

...y en la nave se hallaron libros del astrólogo San Martín, que iba con Fernando de Magallanes y falleció en el viaje, y también dos planisferios de Fernando de Magallanes hechos por Pedro Reynel.